Ableitung der Exponentialfunktion

Umstellen der Exponentialfunktion zur Basis $e$

$$f(x)=b^x=e^{ln(b)\cdot x}$$

Für $f(x)=e^x$ gilt:

$$f^{\prime }(x)=e^x$$

Kettenregel

Produktregel

Ableitung von zwei Faktoren, die beide $x$ enthalten, z.B. $f(x)=-2x{e}^{-2x^2}$

Es gilt:

$$\begin{array}{rl}f(x)& =u(x)\cdot v(x)\\ f^{\prime }(x)& =u^{\prime }(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)\end{array}$$

Für die Beispielfunktion gilt dann:

$$\begin{array}{rl}f(x)& =-2x\cdot e^{-x^2}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}u(x)& =-2x\\ u^{\prime }(x)& =-2\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}v(x)& =e^{-2x^2}\\ v^{\prime }(x)& =-2x\cdot e^{-x^2}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =-2\cdot e^{-x^2}\cdot -2x\cdot (-2x\cdot e^{-x^2})\\ & =-2e^{-x^2}+4x^2\cdot e^{-x^2}\\ & =(4x^2-2)\cdot e^{-x^2}\end{array}$$