Tangentenfunktion

Tangenten lassen sich auch mithilfe von Ableitungen bestimmen lassen.
Statt $t(x)=mx+b$ , wo $b$ meist graphisch bestimmt werden muss, kann man nun die 1. Ableitung nutzen:

Gegeben ist dabei ein Punkt $P(x_0|f^{\prime }(x_0))$ bzw. die Stelle $x_0$ und die Ableitung $f^{\prime }(x)$.
Der Punkt $P$ ist dabei der Punkt, den die Tangente im Graphen von $f$ schneidet.
$t(x)=f^{\prime }(x_0)\cdot x+b$

Normale

Definition: Normale
Gerade, welche senkrecht zur Tangente verläuft

$m$ ist der Anstieg der Tangente, $k$ ist der Anstieg der normalen

$$\begin{array}{rl}m& =f^{\prime }(x)\\ k& =-\frac{1}{m}\\ & =-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}\end{array}$$

An der Stelle $x_0$ gilt: $nm(x_0)=f(x_0)$

Beispiel

$$\begin{array}{rl}{x}_0& =2\\ P& =(2,f(2))\\ f(x)& =-\frac{1}{5}(x-0)(x-8,5)\\ & =-\frac{1}{5}{x}^2+1,7x\\ f^{\prime }(x)& =-\frac{2}{5}x+1,7\\ m& =f^{\prime }(x_0)=0,9\\ k& =-\frac{1}{0,9}=-\frac{10}{9}\end{array}$$

dann: $k$ und $m$ in $nm$ einsetzen und nach $n$ umstellen