Das Gravitationsgesetz

Annahmen Newtons

Die Gesetze der Mechanik gelten auch für Himmlisches, nicht nur für Geschehnisse auf der Erde
Die Umlaufbahn des Mondes kann einer Kreisbahn angenähert werden, damit ist seine Beschleunigung $a_{Z}$ gleich
$ω^{2} r = (\frac{2 π}{T})^{2} \cdot r$
wobei $T$ gleich 27.3 Tage ist, also der ungefähren Zeit für einen Umlauf des Mondes und $r$ die Entfernung Mond-Erde. ( $ω$ ist das Formelzeichen der Winkelgeschwindigkeit)
Die mittlere Entfernung von Erdmittelpunkt zu Mond musste geschätzt werden
Die Geschwindigkeit des Mondes ist konstant.

Bild 3 illustriert die Annahme Newtons, dass der Apfel die gleiche Beschleunigung erfährt wie der Mond, wenn er genauso weit von der Erde entfernt ist

Herleitung des Gravitationsgesetz

Zwei Körper mit den Massen $m_{1}$ , $m_{2}$ , deren Massenmittelpunkte den Abstand $r$ haben, üben aufeinander Kräfte aus vom Betrag:
$F = G \cdot \frac{m _{1} \cdot m _{2}}{r ^{2}}$
Dies kommt daher:
$F_{t e i l} \sim m \cdot a \sim m \cdot \frac{1}{r _{2}}$
Da die Kraft aufgrund des Wechselwirkungsprinzips in beide Richtungen wirkt, bestimmt man beide Kräfte für Erde und Mond:
$F_{1} \sim m_{1} \cdot \frac{1}{r _{2}}$
$F_{2} \sim m_{2} \cdot \frac{1}{r _{2}}$
Nun ist $F \sim F_{1} \cdot F_{2}$ . Sobald dazu ein Proportionalitätsfaktor hinzugefügt wird, hat man eine Gleichung. Dieser Proportionalitätsfaktor ist in diesem Fall die Gravitationskonstante $G$ . Dann ist $F = G \cdot F_{1} \cdot F_{2}$

Das Gravitationsgesetz

Zwischen zwei Körpern wirken aufgrund ihrer Massen anziehende Kräfte, die gleich groß und entgegengesetzt gerichtet sind. Für den Betrag dieser Gravitationskräfte gilt:
$F = G \cdot \frac{m _{1} \cdot m _{2}}{r ^{2}}$

G ist dabei die Gravitationskonstante. $m_{1}$ und $m_{2}$ sind die Massen der beiden Körper. $r$ ist der Abstand zwischen der Mittelpunkte der beiden Körper. $G$ ist die Gravitationskonstante (Manchmal wird auch ein $γ$ für die Gravitationskonstante verwendet).
Newton näherte diese an, indem er für die Masse des Mondes die Masse eines Gegenstandes auf der Erde einsetzte und die Masse der Erde schätzte. Sie kann experimentell ermittelt werden.
Daher gilt auch, dass bei Änderung des Zentralgestirns auf z.B. den Mond bei vergleichbarem Abstand $g \sim m_{M o n d}$ .

Bestimmung der Gravitationskonstante

Die Einheit von $G$ kann mithilfe einer Einheitenbetrachtung bestimmt werden:

G [G] = \frac{F}{\frac{m _{1} \cdot m _{2}}{r ^{2}}} = \frac{[ F ] \cdot [ r ] \cdot [ r ]}{[ m _{1} ] \cdot [ m _{2} ]} = \frac{1 N m \cdot 1 m \cdot 1 m}{1 k g \cdot 1 k g} = \frac{1 k g \cdot 1 m \cdot 1 m \cdot 1 m}{1 s ^{2} \cdot 1 k g \cdot 1 k g} = \frac{1 m \cdot 1 m \cdot 1 m}{1 s ^{2} \cdot 1 k g} = \frac{1 m ^{3}}{1 s ^{2} \cdot 1 k g}

Es werden die gleichen Annahmen wie Newton gemacht:

Gegenstand befindet sich auf der Erdoberfläche ( $g = 9, 81 \frac{m}{s ^{2}}$ ) → beliebiger Wert für $m_{2}$
Erde ist eine Kugel
$ρ = 5, 0 \cdot 1 0^{3} k g / m^{3}$
$r = 6, 37 \cdot 1 0^{6} m$

F_{2} m_{2} \cdot g g G G_{N e wt o n} G_{M o d er n} = F_{G r a v i t a t i o n s g ese t z} = G \cdot \frac{m _{2} \cdot m _{1}}{r ^{2}} = G \cdot \frac{m _{1}}{r ^{2}} = \frac{g \cdot r ^{2}}{m _{1}} = \frac{g \cdot r ^{2}}{ρ \cdot \frac{3}{4} π \cdot r ^{3}} = \frac{g}{ρ \cdot \frac{3}{4} π \cdot r} = \frac{3 g}{ρ \cdot 4 π \cdot r} \approx \frac{3 \cdot 9 , 81 \frac{m}{s ^{2}}}{5 , 0 \cdot 1 0 ^{3} \frac{k g}{m ^{3}} \cdot 4 π \cdot 6 , 37 \cdot 1 0 ^{6} m} \approx 7.35311 \cdot 1 0^{- 11} \frac{m ^{3}}{s ^{2} \cdot k g} = 6, 67430 \cdot 1 0^{- 11} \frac{m ^{3}}{s ^{2} \cdot k g}