Die Keplerschen Gesetze

1. Keplersches Gesetz

Alle Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen. In einem gemeinsamen Brennpunkt steht die Sonne (das Zentralgestirn).

Den Punkt auf der Bahn mit dem geringsten Abstand zur Sonne bezeichnet man als Perihel, den Bahnpunkt mit dem größten Abstand zur Sonne als Aphel.

Die Kraft, welche den Körper (Planet) auf der Bahn bewegt, besteht aus zwei Komponenten – der beschleunigenden und der richtungsändernden Kraft. Die beschleunigende Kraft entspricht der Gravitationskraft $F_{G}$ und die richtungsändernde Kraft entspricht der Zentripetalkraft $F_{Z}$ .

2. Keplersches Gesetz

Die Verbindungslinie Sonne – Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

\frac{A _{1}}{t _{1}} = \frac{A _{2}}{t _{2}}

$A_{1}$ , $A_{2}$ – Flächen
$t_{1}$ , $t_{2}$ – Zeiten

3. Keplersches Gesetz

Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten um das gleiche Zentralgestirn verhalten sich wie die Kuben der großen Bahnhalbachsen (die Hälfe des Größeren der beiden Durchmesser auf der elliptischen Bahn).

\frac{T _{1}^{2}}{T _{2}^{2}} = \frac{a _{1}^{3}}{a _{2}^{3}}

Anders formuliert: Für alle Planeten, die um das gleiche Zentralgestirn kreisen, haben die Quotienten aus dem Quadrat der Umlaufzeit und der dritten Potenz der großen Bahnhalbachse denselben Wert.

\frac{T _{1}^{2}}{a _{1}^{3}} = \frac{T _{2}^{2}}{a _{2}^{3}} = ... = C

Die Konstante $C$ , die für jedes Zentralgestirn einen anderen Wert hat, bezeichnet man als KEPLER-Konstante.

Herleitung

Das 3. Keplersche Gesetz lässt sich mit dem Gravitationsgesetz herleiten.
Nehmen wir an, die Bahn des Planeten sei eine Kreisbahn, dann ist die beschleunigende Kraft, die das Gravitationsgesetz beschreibt, die Zentripetalkraft $F_{Z}$ :

F_{G} = F_{Z} \Leftrightarrow G \cdot \frac{m _{S} \cdot m _{P}}{r _{SP} ^{2}} = m_{P} \cdot (\frac{2 \cdot π}{T})^{2} \cdot r_{SP} \Leftrightarrow \frac{T ^{2}}{r _{SP} ^{3}} = \frac{4 \cdot π ^{2}}{G \cdot m _{S}}

(Hierbei wäre $m_{S}$ die Masse der Sonne, $m_{P}$ die Masse eines Planeten und $r_{SP}$ die Entfernung zwischen dessen Mittelpunkten, $T$ die Umlaufzeit des Planeten und $G$ die Gravitationskonstante)

Daraus folgt

\frac{T ^{2}}{r ^{3}} = \frac{T ^{2}}{a ^{3}} = C

mit

C = \frac{4 \cdot π ^{2}}{G \cdot m _{Zentralgestirn}}