AB2 Anwendung des Gravitationsgesetzes

Aufgabe 1

$$\begin{array}{rl}{m}_1& =10^{5}t\\ m_2& =m_1\\ r& =200m\\ F_G& =G\cdot \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}\\ & =G\cdot \frac{10^{5}t\cdot 10^{5}t}{40000m^2}\\ & =6,67\cdot 10^{-11}\frac{m^3}{s^2\cdot kg}\cdot \frac{10^{8}kg\cdot 10^{8}kg}{40000m^2}\\ & =16,675\frac{m^3\cdot k{g}^2}{s^2\cdot kg\cdot m^2}\\ & =16,675\frac{m\cdot kg}{s^2}\\ & =16,675N\end{array}$$

Aufgabe 2

a) Die Gravitationskonstante beschreibt jene Kraft, die auf einen Körper aufgrund seiner Masse und seiner Fläche wirkt.
b) Der Apfel fällt sowohl auf die Erde, als auch dass die Erde auf den Apfel fällt. Aufgrund des Wechselwirkungsgesetzes wirkt eine Kraft immer in beide Richtungen.
c) Ein geostationärer Satellit ist ein Satellit, welcher sich in der Erdumlaufbahn “Geostationary Earth Orbit” befindet. Die Winkelgeschwindigkeit beträgt dabei die gleiche wie die Erde und der Satellit befindet sich über dem gleichen Punkt relativ zur Erde. Wenn also ein Satellit über dem Äquator gestartet wird, bleibt er auch dort.

Aufgabe 3

a) Anhand des Kraftansatzes gilt:

$$\begin{array}{rl}{m}_2\cdot g& =G\cdot \frac{m_2\cdot m_1}{r^2}\\ g& =G\cdot m_1\cdot \frac{1}{r^2}\end{array}$$

Wenn $m_1$ konstant ist, gilt $g\sim \frac{1}{r^2}$

Das Gravitationsgesetz

Zwischen zwei Körpern wirken aufgrund ihrer Massen anziehende Kräfte, die gleich groß und entgegengesetzt gerichtet sind. Für den Betrag dieser Gravitationskräfte gilt:
$F=G\cdot \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}$

G ist dabei die Gravitationskonstante. $m_1$ und $m_2$ sind die Massen der beiden Körper. $r$ ist der Abstand zwischen der Mittelpunkte der beiden Körper. $G$ ist die Gravitationskonstante (Manchmal wird auch ein $\gamma$ für die Gravitationskonstante verwendet).
Newton näherte diese an, indem er für die Masse des Mondes die Masse eines Gegenstandes auf der Erde einsetzte und die Masse der Erde schätzte. Sie kann experimentell ermittelt werden.
Daher gilt auch, dass bei Änderung des Zentralgestirns auf z.B. den Mond bei vergleichbarem Abstand $g\sim m_{Mond}$.

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b) Die Erde ist nicht kugelförmig und hat auch keine ebene Oberfläche. Damit ist die Entfernung zum Erdmittelpunkt an verschiedenen Stellen unterschiedlich. $g$ ist proportional zu $\frac{1}{r^2}$, also ändert sich damit der Ortsfaktor an verschiedenen Stellen auf der Erdoberfläche.
Damit fallen auch alle Körper nicht gleich schnell, denn die Fallgeschwindigkeit ist abhängig vom Ortsfaktor. Selbst wenn man die Erde als Kugel mit ebener Oberfläche ansieht, dann ist der Ortsfaktor für einen Körper in der Stratospähre trotzdem niedriger als für einen Körper auf der Oberfläche.

Aufgabe 4

Aufgabe 4a

geg.: $$
\begin{align}
T & = 365d = 365 \cdot 24 \cdot 60^2s \
r & = 149,6 \cdot 10^9m \
G
\end{align}

ges.: $m$ Lsg.:

\begin{align}

v & = \omega \cdot r \
& = \frac{2\pi}{r} \cdot r \

v & = \sqrt{\frac{G \cdot m}{r}} \
v^2 & = \frac{G \cdot m}{r} \

m & = \frac{v^2 \cdot r}{G} \
& = \frac{4\pi^2 \cdot r^3}{T^2 \cdot G}

\end{align}

#### Aufgabe 4b geg.:

\begin{align}

h & = 35,900km \
T & = 24h = 24 \cdot 60^2 s \
G \
m_E & = 5,97 \cdot 10^{24}kg \
r_E & = 6730km
\end{align}

ges.: $h$ Skizze: ![[AB2 Anwendung des Gravitationsgesetzes 2023-09-21 11.09.37.excalidraw]] Lsg.:

F_Z = F_G

\begin{align}
m_s \cdot \frac{v^2}{r} & = G \cdot \frac{m_E \cdot m_S}{r^2} \
\frac{v^2}{r} & = G \cdot \frac{m_E}{r^2} \
(\frac{2\pi r}{T})^2 & = G \cdot \frac{m_E}{r} \
\frac{4\pi^2 r^3}{T^2} & = G \cdot m_E \
r^3 & = \frac{G \cdot m_E \cdot T^2}{4\pi^2} \
r & = \sqrt[3]{\frac{G \cdot m_E \cdot T^2}{4\pi^2}} \
\end{align}

\begin{align}
r & = r_E + h \
r & = \sqrt[3]{\frac{G \cdot m_E \cdot T^2}{4\pi^2}} \

h + r_E & = \sqrt[3]{\frac{G \cdot m_E \cdot T^2}{4\pi^2}} \
h & = \sqrt[3]{\frac{G \cdot m_E \cdot T^2}{4\pi^2}} - r_E
\end{align}

### Aufgabe 5 3)

\begin{align}
r & = 100km + r_M \
a_Z & = \omega^2 \cdot m_M = (\frac{2 \pi}{T})^2 \cdot m_M \
a_Z \cdot m & = F_G \
(\frac{2 \pi}{T})^2 \cdot m_M \cdot m & = G \cdot \frac{m_M \cdot m}{r_M^2} \
(\frac{2 \pi}{T})^2 \cdot m_M \cdot m \cdot r_M^2 & = m_M \cdot m \cdot G \
(\frac{2 \pi}{T})^2 \cdot r_M^2 & = G \
(\frac{2 \pi}{T})^2 & = \frac{G}{r_M^2} \
\frac{T^2}{4 \pi^2} & = \frac{r_M^2}{G} \
T^2 & = \frac{r_M^2 \cdot 4 \pi^2}{G} \
T & = \frac{r_M \cdot 2 \pi}{G} \
\end{align}

$$(falsch)$$